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Warum 50 Ohm? Die Physik hinter dem HF-Standard

Wer zum ersten Mal ein Koaxialkabel in der Hand hält und auf dem Aufdruck "50 Ω" liest, fragt sich unweigerlich: Warum ausgerechnet 50? Die Antwort liegt in einem eleganten Kompromiss zwischen zwei physikalischen Optima und etwas Militärgeschichte.

Das Ergebnis vorweg

Für ein Koaxialkabel mit Luft als Dielektrikum gibt es zwei physikalisch optimale Wellenwiderstände, je nach Ziel:

Das geometrische Mittel liegt bei:

$$Z_0 = \sqrt{77\,\Omega \times 30\,\Omega} \approx 48\,\Omega$$

Das geometrische Mittel ist hier sinnvoller als das arithmetische, weil Impedanzen auf einer logarithmischen Skala natürlich sind. Das geometrische Mittel minimiert den maximalen relativen Abstand zu beiden Optima gleichzeitig. Das Ergebnis wurde auf 50 Ω gerundet und Anfang der 1930er Jahre als militärischer Standard etabliert (MIL-SPEC, später von IEC und IEEE übernommen).

Grundlagen: Wellenwiderstand einer Leitung

Die Telegrafengleichungen

Eine reale Leitung lässt sich nicht als einfacher Draht beschreiben, denn Spannung und Strom ändern sich entlang der Leitung. Das Modell: jedes infinitesimale Stück $dx$ verhält sich wie ein kleines LC-Glied:

───L'dx───┬───
          C'dx
          │
──────────┴───

$L'$ = Induktivitätsbelag, $C'$ = Kapazitätsbelag (jeweils pro Längeneinheit). Aus den Kirchhoffschen Regeln auf diesem verteilten Netzwerk folgen die Telegrafengleichungen:

$$-\frac{\partial u}{\partial x} = L' \frac{\partial i}{\partial t}, \qquad -\frac{\partial i}{\partial x} = C' \frac{\partial u}{\partial t}$$

Von den Telegrafengleichungen zur Wellengleichung

Differenziert man die erste Gleichung nach $x$ und setzt die zweite ein:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = L' \frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{\partial i}{\partial x}\right) = L' C' \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$

Das ist die Wellengleichung mit Phasengeschwindigkeit $v = 1/\sqrt{L'C'}$.

Wellenwiderstand $Z_0 = \sqrt{L'/C'}$

Für eine harmonische Welle $\sim e^{j(\omega t - kx)}$ gilt $\partial/\partial x \to -jk$ und $\partial/\partial t \to j\omega$. Einsetzen in die erste Telegrafengleichung:

$$jk \cdot U = j\omega L' \cdot I \quad \Rightarrow \quad Z_0 = \frac{U}{I} = \frac{\omega L'}{k}$$

Mit der Dispersionsrelation $k = \omega/v = \omega\sqrt{L'C'}$:

$$\boxed{Z_0 = \frac{\omega L'}{\omega\sqrt{L'C'}} = \sqrt{\frac{L'}{C'}}}$$

$Z_0$ ist also das Verhältnis von Spannung zu Strom einer laufenden Welle, eine reine Geometrieeigenschaft, keine Last. Eine reflexionsfreie Terminierung mit $Z_\text{Last} = Z_0$ lässt die Leitung „unendlich lang" erscheinen.

$L'$ und $C'$ für das Koaxialkabel

Innenleiter-Radius $a$, Außenleiter-Radius $b$. Beide Felder sind rotationssymmetrisch und exakt berechenbar:

Induktivitätsbelag (aus dem Ampèreschen Gesetz: Magnetfeld $B(r) = \mu_0 I / 2\pi r$, Integration von $a$ bis $b$):

$$L' = \frac{\mu_0}{2\pi} \ln\!\left(\frac{b}{a}\right)$$

Kapazitätsbelag (aus dem Gaußschen Gesetz: elektrisches Feld $E(r) = \lambda / 2\pi\varepsilon_0 r$, Spannung durch Integration):

$$C' = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(b/a)}$$

Einsetzen in $Z_0 = \sqrt{L'/C'}$:

$$Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) \cdot \frac{\ln(b/a)}{2\pi\varepsilon_0}} = \frac{\ln(b/a)}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$$

Wellenwiderstand des Vakuums

$$Z_\text{Vak} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \approx 376{,}73\,\Omega$$

Mit $x = b/a$:

$$Z_0 = \frac{376{,}73}{2\pi} \cdot \ln(x) \approx 59{,}95 \cdot \ln(x) \approx \boxed{60 \cdot \ln(x) \quad [\Omega]}$$

Mit Dielektrikum ($\varepsilon_r > 1$) ersetzt $\varepsilon_0 \to \varepsilon_0\varepsilon_r$:

$$Z_0 = \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \cdot \ln(x)$$

Für Luft ($\varepsilon_r \approx 1$) entfällt der Faktor.

Herleitung der optimalen Impedanzen

1. Minimale Dämpfung

Die Dämpfungskonstante $\alpha$ beschreibt, wie stark die Amplitude pro Längeneinheit abnimmt:

$$U(z) = U_0 \cdot e^{-\alpha z}$$

Die Dämpfung entsteht durch den ohmschen Widerstand beider Leiter. Wegen des Skin-Effekts fließt der Strom hierbei nur in einer dünnen Schicht der Tiefe $\delta = \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$ an der Oberfläche. Der Widerstandsbelag ist damit:

$$R' = \frac{1}{2\pi\sigma\delta}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$$

Mit $\alpha = R'/(2Z_0)$ und nach Kürzen aller Konstanten hängt $\alpha$ nur noch von der Geometrie ab:

$$\alpha \propto \frac{1/a + 1/b}{\ln(b/a)} = \frac{x+1}{\ln(x)}, \quad x = \frac{b}{a}$$

(Außenleiter $b$ fest, $a = b/x$ variabel, Faktor $1/b$ kürzt sich heraus.)

Minimum durch Nullsetzen der Ableitung:

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{x+1}{\ln x}\right] = \frac{\ln x - \dfrac{x+1}{x}}{\ln^2 x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = 1 + \frac{1}{x}$$

Numerisch: $x \approx 3{,}6$ → $Z_0 = 60 \cdot \ln(3{,}6) \approx \mathbf{77\,\Omega}$

2. Maximale Leistung

Die maximale übertragbare Leistung wird durch die Durchschlagsfeldstärke am Innenleiter begrenzt. Das elektrische Feld im Koaxialkabel folgt aus dem Gaußschen Gesetz (Zylindersymmetrie):

$$E(r) = \frac{V}{r \cdot \ln(b/a)}$$

Da $E(r) \propto 1/r$, ist das Feld am Innenleiter ($r = a$) am stärksten, dort tritt zuerst Durchschlag auf:

$$E_\text{max} = \frac{V}{a \cdot \ln(b/a)} \quad \Rightarrow \quad V = E_\text{max} \cdot a \cdot \ln x$$

Die übertragbare Leistung bei gegebenem $E_\text{max}$:

$$P = \frac{V^2}{2Z_0} \propto \frac{(a \cdot \ln x)^2}{\ln x} = a^2 \cdot \ln x$$

Mit $a = b/x$ (Außenleiter $b$ fest):

$$P \propto \frac{\ln x}{x^2}$$

Maximum durch Nullsetzen der Ableitung:

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln x}{x^2}\right] = \frac{1 - 2\ln x}{x^3} = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{e} \approx 1{,}65$$

$$Z_0 = 60 \cdot \ln(\sqrt{e}) = 60 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{30\,\Omega}$$

Zusammenfassung der Optima

Warum dennoch nicht 30 Ω für Hochleistungssender?

1. Standardisierung dominiert
Die gesamte HF-Infrastruktur (Koaxkabel, Stecker, Messgeräte, Verstärker) ist auf 50 Ω ausgelegt. Ein Sender mit 30 Ω bräuchte überall Transformatoren → Verluste und Kosten.

2. Das Leistungsoptimum ist sehr flach
Die Kurve, die die maximale Leistungsübertragung beschreibt, fällt in Richtung 50 Ohm nur sehr flach ab. Der Verlust an maximaler Sendeleistung ist im Alltag also minimal (nur wenige Prozent schlechter als bei 30 Ω), weshalb es keinen wirtschaftlichen Vorteil bringt.

3. Mechanische Grenzen
$D/d \approx 1{,}65$ bedeutet: der Innenleiter ist fast so dick wie der Außenleiter. Das ergibt wenig Isolationsabstand und ist schwer zu fertigen.

4. Hochleistungssender verwenden Hohlleiter
Bei echten Hochleistungsanlagen (MW, kW-Bereich) verwendet man Hohlleiter statt Koaxkabel. Dort gelten völlig andere Optimierungskriterien.

Stattdessen haben sich je nach Anwendung zwei Standards etabliert:

75 Ω ist höherohmig als 50 Ω und näher am Dämpfungsoptimum und sinnvoll dort, wo nur kleine Empfangssignale übertragen werden und jeder Verlust zählt.