Borbin the 🐱

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More than two thousand years ago, Archimedes² tried to calculate the circumference of a circle. It was already known that larger circles have both a larger diameter and a larger circumference, but it was not clear whether the ratio between them would always remain the same.

By enclosing a circle between polygons with an increasing number of sides, he was able to show that this ratio is the same for every circle, and that its value can be bounded within steadily tightening intervals. Using a polygon of 96 sides, he proved that the value is contained in the interval

$$\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}$$

Archimedes narrowing the bounds

After Euler adopted the notation in 1736, the world denoted this value as $\pi$ ³

As an irrational number, its decimal expansion never repeats and never ends. And the search for more digits has never stopped.

This raises a simple question.

How many of those digits do we actually need to describe something real?

The circumference of a circle provides exactly that test.

The circumference of a circle is

$$C = \pi D$$

So any inaccuracy in $\pi$ directly affects the result.

Example: The Earth

The diameter of the Earth is approximately

$$D_{Earth} \approx 12742\ km$$

We want the circumference to be correct within

$$1\ mm = 0.001\ m$$

This means the allowed error in the circumference is

$$\Delta C \leq 0.001\ m$$

Since

$$C = \pi D$$

any error in $\pi$ causes

$$\Delta C = D \cdot \Delta \pi$$

So the required accuracy of $\pi$ must satisfy

$$D \cdot \Delta \pi \leq 0.001$$

Solving for $\Delta \pi$ leads to

$$\Delta \pi \leq \frac{0.001}{12742\cdot1000}$$

$$\Delta \pi \leq 7.85 \times 10^{-11}$$

That corresponds to roughly 10 decimal places of $\pi$. Using 10 places results in an error of about $10^{-11}$, which is within the required bound.

So if you use

$$\pi_{10} = 3.1415926536$$

you can calculate the circumference of the entire Earth with an error smaller than one millimeter.

Example: A Pizza

The diameter of a pizza is approximately

$$D_{Pizza} \approx 0.30\ m$$

This time we set the target accuracy to the diameter of an atomic nucleus

$$1\ \text{fm} = 10^{-15}\ m$$

Applying the same formula leads to

$$\Delta \pi \leq \frac{10^{-15}}{0.30}$$

$$\Delta \pi \leq 3.3 \times 10^{-15}$$

That corresponds to roughly 15 decimal places of $\pi$.

So if you use

$$\pi_{15} = 3.141592653589793$$

you can calculate the circumference of a pizza with an error smaller than the diameter of an atomic nucleus.

Example: The Observable Universe

Now let us scale things up.

The diameter of the observable universe is estimated at roughly

$$D_{Universe} \approx 8.8 \times 10^{26}\ m$$

Using the same formula with a target accuracy of 1 mm, as in the Earth example, leads to

$$\Delta \pi \leq \frac{0.001}{8.8 \times 10^{26}}$$

$$\Delta \pi \leq 1.14 \times 10^{-30}$$

That corresponds to roughly 30 decimal places of $\pi$.

So if you use

$$\pi_{30} = 3.141592653589793238462643383279$$

you can calculate the circumference of the entire observable universe with an error smaller than one millimeter.

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Conclusion

Ten digits of $\pi$ are enough for planetary scale.

Fifteen digits are enough to measure a pizza to the width of an atomic nucleus.

Thirty digits are enough for cosmic scale.

Beyond that, the digits describe no physical quantity we can measure, only the internal consistency of mathematics itself.

Fifteen digits are also exactly what NASA uses to navigate spacecraft across the solar system, the same precision that measures a pizza to the width of an atomic nucleus.
They have not yet missed a planet.

Interplanetary navigation with finite precision

See also Engineering Pi Day

1/125s f/3,5 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=28mm/42mm

1/125s f/3,5 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=50mm/75mm

1/125s f/3,5 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=35mm/52mm

1/125s f/3,5 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=35mm/52mm

Lossless Minecraft Version

1/125s f/3,5 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=30mm/45mm

1/125s f/3,5 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=50mm/75mm

1/100s f/6,3 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=23mm/34mm

1/160s f/4 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=29mm/44mm

Architektur im Kleinen: Katzentreppe
1/60s f/6,3 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=20mm/30mm

1/40s f/3,2 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=50mm/75mm

1/160s f/2,8 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=50mm/75mm

1/400s f/2,8 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=37mm/55mm

1/160s f/4,5 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=26mm/39mm

1/60s f/4,5 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=19mm/29mm

1/60s f/4,5 ISO 100/21° 16-50mm f/2,8 VR f=50mm/75mm

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Lossless Tonal Adjustments in JPEG's DCT Domain: Exposure Compensation and Multi-Band Contrast

Most JPEG workflows treat exposure (brightness) and contrast as inherently "lossy": decode pixels, apply curves, then re-encode. That approach works, but it always introduces an additional step of quantization error.

In this github fork of the IJG JPEG-10 code, I added two options to jpegtran that operate directly on quantized DCT coefficients:

• -exposure-comp EV
• -contrast DC LOW MID HIGH

Both are applied during transcoding, so they combine naturally with existing jpegtran operations such as rotation, flipping, cropping, marker copying, and progressive conversion.

https://github.com/jurgen178/jpeg10
Download Windows x64 binary: jpegtran.zip

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Quick Usage

jpegtran [standard options] [-exposure-comp EV] [-contrast DC LOW MID HIGH] input.jpg output.jpg

Examples:

# Brighten by 1 stop
jpegtran -copy all -exposure-comp 1 input.jpg output.jpg

# Darken by 0.5 stops
jpegtran -copy all -exposure-comp -0.5 input.jpg output.jpg

# Contrast (uniform: DC=LOW=MID=HIGH)
jpegtran -copy all -contrast -1   -1   -1   -1   input.jpg out-contrast-u-1.jpg
jpegtran -copy all -contrast -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 input.jpg out-contrast-u-0.5.jpg
jpegtran -copy all -contrast  0.5  0.5  0.5  0.5 input.jpg out-contrast-u+0.5.jpg
jpegtran -copy all -contrast  1    1    1    1   input.jpg out-contrast-u+1.jpg

# Contrast (band-specific examples)
jpegtran -copy all -contrast 0 0 0.6 0   input.jpg out-contrast-mid+0.6.jpg
jpegtran -copy all -contrast 0 0 0 0.4   input.jpg out-contrast-high+0.4.jpg
jpegtran -copy all -contrast 0 0.4 0 0   input.jpg out-contrast-low+0.4.jpg

# Combine: rotate 90°, brighten 0.5 EV, and add uniform contrast +0.5
jpegtran -copy all -rot 90 -exposure-comp 0.5 -contrast 0.5 0.5 0.5 0.5 input.jpg output.jpg

Both switches accept fractional values. Practical ranges:

Option	Practical range	Neutral
-exposure-comp EV	-3 … +3	0
-contrast DC LOW MID HIGH	-2 … +2	0

Integrated into cPicture with live preview:

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Background: DCT Coefficient Basics

A JPEG image is encoded as a grid of DCT blocks (with 8×8 Elements in size). Each block has one DC coefficient and 63 AC coefficients. But each MCU might have more than one block depending on the color subsampling.

• DC[0] represents the (level-shifted) average sample value of the block. The relationship to pixel mean is:

  $$\mu = \frac{DC_\text{unquant}}{N} + \text{center}$$

  where $N$ is the DCT block size of 8 and $\text{center} = 2^{\text{precision}-1}$ (e.g. 128 for 8‑bit).

• AC[1..N²−1] represent spatial frequency components (texture, edges, contrast).

Both DC and AC are stored quantized: the actual stored integer is $\text{round}(\text{value} / Q_k)$, where $Q_k$ is the quantization step for coefficient $k$.

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-exposure-comp EV — Exposure Compensation

Exposure compensation from -2EV to +2EV:

Concept

A photographic EV step corresponds to doubling (or halving) the amount of light. Applied in linear light:

$$\text{gain} = 2^{EV}$$

Because JPEG samples are gamma-coded (sRGB), pixel values cannot be multiplied directly. Instead:

1. Estimate a representative level from the DC blocks.
2. Compute the equivalent additive pixel-domain offset by applying the gain in linear light at that reference level.
3. Translate the offset into a quantized DC delta.
4. Add the delta to every DC coefficient.

Only DC is modified. AC coefficients are not modified, so local contrast and texture are preserved.

Reference Level — Log-Average

A geometric mean (log-average) of all block mean levels is used as the exposure reference:

$$\bar{L} = \exp\!\left(\frac{1}{B}\sum_{i=1}^{B} \ln(L_i + 1)\right) - 1$$

where $L_i$ is the intensity mean of block $i$ (clamped to $[0, \text{MAX}]$) and $B$ is the total number of blocks.

sRGB Linearisation

The gain is applied in linear light:

$$u_\text{ref} = \frac{\bar{L}}{\text{MAX}}$$

$$u_\text{ref,lin} = f_\text{lin}(u_\text{ref})$$

$$u_\text{new,lin} = \min(u_\text{ref,lin} \cdot \text{gain},\; 1.0)$$

$$u_\text{new} = f_\text{sRGB}(u_\text{new,lin})$$

The sRGB transfer functions used:

$$f_\text{lin}(u) = \begin{cases} u / 12.92 & u \le 0.04045 \\ \left(\dfrac{u + 0.055}{1.055}\right)^{2.4} & u > 0.04045 \end{cases}$$

$$f_\text{sRGB}(u) = \begin{cases} 12.92\,u & u \le 0.0031308 \\ 1.055\,u^{1/2.4} - 0.055 & u > 0.0031308 \end{cases}$$

Pixel-Domain Offset → Quantized DC Delta

$$\Delta_\text{samples} = (u_\text{new} - u_\text{ref}) \cdot \text{MAX}$$

Clamped to available headroom/shadow room to limit clipping, then converted to a quantized DC delta:

$$\Delta_{DC} = \text{round}\!\left(\frac{\Delta_\text{samples} \cdot N}{Q_0}\right)$$

where $N$ is the DCT block size and $Q_0$ is the DC quantization step.

Component Policy

Color space	Components adjusted
YCbCr, BG_YCC, YCCK	Luma only (component 0)
RGB/BG_RGB + subtract-green transform	Green/base only (component 1)
CMYK, all others	All components

For CMYK and YCCK the delta is computed in an inverted intensity domain ($I = \text{MAX} - \text{sample}$) so that +EV brightens and −EV darkens.

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-contrast DC LOW MID HIGH — Contrast Adjustment

Contrast from -1CV to +1CV:

Concept

This option provides four separate controls (all in stops):

• DC controls the DC coefficient (block mean)
• LOW, MID, HIGH control the AC coefficients in frequency order

All controls are interpreted as log2 gains (stops). For a value $x$, the gain is:

$$g(x) = 2^{x}$$

So +1 doubles, -1 halves.

DC

DC is scaled by:

$$g_\mathrm{DC} = 2^{DC}$$

and applied as:

$$DC' = \mathrm{clamp}(\mathrm{round}(g_\mathrm{DC} \cdot DC))$$

AC (low/mid/high weighting)

AC coefficients are processed in zigzag order (the JPEG natural order). Let $z$ be the AC position with $z = 1 \ldots A$, where $A$ is the number of AC coefficients.

Define a normalized position:

$$t = \begin{cases} \dfrac{z-1}{A-1} & A > 1 \\ 0 & A = 1 \end{cases}$$

Triangular weights:

• low weight fades out from low frequencies

$$w_\mathrm{low} = \max(0, 1 - 2t)$$

• mid weight peaks in the middle

$$w_\mathrm{mid} = 1 - |2t - 1|$$

• high weight fades in toward high frequencies

$$w_\mathrm{high} = \max(0, 2t - 1)$$

Per-coefficient exponent and gain:

$$v(z) = LOW\cdot w_\mathrm{low} + MID\cdot w_\mathrm{mid} + HIGH\cdot w_\mathrm{high}$$

$$g(z) = 2^{v(z)}$$

Applied to each AC coefficient:

$$AC'[z] = \mathrm{clamp}(\mathrm{round}(g(z)\cdot AC[z]))$$

If DC = LOW = MID = HIGH = X, then all coefficients are scaled by the same gain $2^X$ (uniform contrast adjustment).

Component Policy

Same as -exposure-comp:

• YCbCr/BG_YCC/YCCK: luma only
• RGB subtract-green: base/green only
• otherwise: all components

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Ordering and Composition

Both -exposure-comp and -contrast are applied as a post step after any geometric transform (-rot, -flip, -crop, …). The tonal operations work on the final output coefficient arrays, so the order of switches on the command line does not matter.

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Implementation notes

• Core implementation:
  • transupp.c: do_exposure_comp() and do_contrast()
  • transupp.h: adds new fields to jpeg_transform_info
• CLI parsing:
  • jpegtran.c
• Feature flags and parameters are stored in jpeg_transform_info in transupp.h

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Summary

• -exposure-comp EV shifts brightness by changing only DC coefficients, with EV evaluated in linear light (sRGB transfer) at a log-average reference.
• -contrast DC LOW MID HIGH scales DC and AC coefficients, with AC gains varying smoothly over frequency order using low/mid/high controls.
• Both run in the DCT domain and integrate naturally into the lossless-transformation workflow of jpegtran.

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Example pictures

Chagall-Fenster im Chor

Die Fenster der Stephanskirche wurden von Marc Chagall gestaltet und prägen den gesamten Raum. Das tiefe Blau und die warmen Farbtöne fangen das Licht auf eine Weise ein, die sofort eine besondere Ruhe entstehen lässt. Beim Betreten der Kirche verändert sich die Wahrnehmung fast unmerklich, doch sehr deutlich. Farbe, Licht und Stille verbinden sich zu einem Moment, der lange nachwirkt.

Chagall begann in der zweiten Hälfte der 1970er Jahre damit, für die Stephanskirche Fenster zu entwerfen, damals bereits fast neunzig Jahre alt. Das erste Fenster wurde 1978 eingebaut und war ursprünglich als einzelnes Werk gedacht. Doch er arbeitete weiter. Bis zu seinem Tod 1985 schuf Chagall insgesamt neun Fenster für den vorderen Teil der Kirche. Chagall entwarf die Glasgemälde und führte auch die Schwarzlotmalerei eigenhändig aus. Seine Arbeit verstand er als Zeichen der jüdisch-deutschen Aussöhnung. Nach seinem Tod wurde die Arbeit an den weiteren Fenstern in St. Stephan von Charles Marq fortgesetzt.

Das tiefe Blau, das seine Arbeiten auszeichnet, verändert den ganzen Raum. Das Licht wird weicher, die Farben wirken fast schwebend, und die Kirche bekommt eine Ruhe, die man sofort spürt.

Pfarrei St. Stephan, Mainz

360°-Ansicht aller Fenster, 1/40s f/2 ISO 640/29°

1/50s f/3,5 ISO 800/30° 16-50mm f/2,8 VR f=32mm/48mm

1/25s f/4 ISO 400/27° 16-50mm f/2,8 VR f=22mm/33mm

1/20s f/2,8 ISO 250/25° 16-50mm f/2,8 VR f=38mm/57mm

1/30s f/2,8 ISO 250/25° 16-50mm f/2,8 VR f=31mm/46mm

1/30s f/4,5 ISO 400/27° f=13mm

1/25s f/4 ISO 250/25° 16-50mm f/2,8 VR f=30mm/45mm

1/13s f/3,5 ISO 400/27° 16-50mm f/2,8 VR f=41mm/61mm

1/40s f/3,2 ISO 800/30° 16-50mm f/2,8 VR f=50mm/75mm

1/50s f/3,5 ISO 800/30° 16-50mm f/2,8 VR f=50mm/75mm

Interaktives Panorama Chagall Fenster der Stephanskirche 1

1/50s f/2 ISO 200/24° f=7,5mm

Interaktives Panorama Chagall Fenster der Stephanskirche 2

1/50s f/2 ISO 250/25° f=7,5mm

Klais-Orgel im St Stephan, Klang trifft Licht

Die heutige Orgel der Stephanskirche wurde von der Werkstatt Klais aus Bonn gebaut und im Jahr 2013 eingeweiht. Sie entstand nach einem Wettbewerb, bei dem der Entwurf von Klais überzeugte, weil er sich bewusst an der Architektur und am Licht der Kirche orientiert. Die metallischen Flächen der Orgel nehmen die Farben der Chagall Fenster auf und spiegeln sie im Raum wider.

Das Instrument besitzt drei Manuale und Pedal sowie 47 Register und wurde so konzipiert, dass es den weiten Kirchenraum mühelos füllt. Die schlanke Bauweise lässt die Orgel fast wie eine Skulptur wirken, die sich nach oben öffnet und den Raum nicht dominiert, sondern begleitet.

Hier wurde eine längere Belichtungszeit mit niedrigem ISO verwendet, aber die Bildstabilisierung konnte das nicht ganz ausgleichen.

0,3s f/3,5 ISO 400/27° 16-50mm f/2,8 VR f=24mm/36mm

0,4s f/2,8 ISO 250/25° 16-50mm f/2,8 VR f=20mm/30mm

Innenraum der Stephanskirche

1/5s f/2,8 ISO 800/30° 16-50mm f/2,8 VR f=16mm/24mm

1/30s f/2,8 ISO 800/30° 16-50mm f/2,8 VR f=50mm/75mm

0,3s f/3,5 ISO 1000/31° 16-50mm f/2,8 VR f=26mm/39mm

1/25s f/2,8 ISO 800/30° 16-50mm f/2,8 VR f=16mm/24mm

1/25s f/2,8 ISO 800/30° 16-50mm f/2,8 VR f=16mm/24mm

1/50s f/5,6 ISO 640/29° f=7,5mm

1/8s f/3,5 ISO 1000/31° 16-50mm f/2,8 VR f=28mm/42mm

1/13s f/3,5 ISO 1000/31° 16-50mm f/2,8 VR f=16mm/24mm

1/15s f/3,5 ISO 1000/31° 16-50mm f/2,8 VR f=16mm/24mm

1/5s f/3,5 ISO 400/27° 16-50mm f/2,8 VR f=16mm/24mm

1/25s f/4 ISO 1000/31° 16-50mm f/2,8 VR f=16mm/24mm

Kreuzgang der Stephanskirche

Der Kreuzgang der Stephanskirche gehört zu den spätgotischen Anlagen der Stadt und wurde im Jahr 1499 vollendet. Er entstand rund eine Generation nach dem Bau der Kirche und wurde von den Stiftsherren in Auftrag gegeben, die damit einen geschützten, ruhigen Bereich an der Südseite der Kirche schufen.

Die Anlage zeigt bis heute viele Spuren ihrer langen Geschichte. An den Wänden stehen zahlreiche Grabplatten, von denen die älteste aus dem Jahr 1048 stammt. Sie wurden im 19. Jahrhundert aus der Kirche hierher gebracht, um sie besser zu erhalten.

Auch der Kapitelsaal gehört zu diesem Ensemble. Seine Mittelsäule wurde bereits um das Jahr 780 geschaffen und später als Abgabe an das Stift übergeben, bevor sie hier ihren Platz fand.

Der Kreuzgang wurde im Laufe der Jahrhunderte mehrfach beschädigt, unter anderem durch die Explosion eines Pulverturms im Jahr 1857 und später im Zweiten Weltkrieg. Zwischen 1968 und 1971 wurde er sorgfältig wiederhergestellt.

Heute wirkt der Innenhof trotz seiner Geschichte leicht und offen. Wer dort entlanggeht, spürt die Ruhe des Ortes und die vielen Schichten der Vergangenheit, die sich in den Mauern gesammelt haben.

1/40s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm

1/40s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm

1/60s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm

1/50s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm

Kreuzgang-Ecken

1/40s f/5,6 ISO 640/29° f=7,5mm

1/40s f/5,6 ISO 640/29° f=7,5mm

1/40s f/5,6 ISO 640/29° f=7,5mm

1/40s f/5,6 ISO 640/29° f=7,5mm

Kreuzgang-Eckpanorama

1/40s f/5,6 ISO 640/29° f=7,5mm

1/40s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm

1/40s f/5,6 ISO 2000/34° f=7,5mm

Interaktives Panorama Kreuzgang 1 360x180

1/50s f/2 ISO 100/21° f=7,5mm

Interaktives Panorama Kreuzgang 2 360x180

1/50s f/2 ISO 100/21° f=7,5mm

Außenansicht

1/160s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm

1/100s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm

Mercator-Projektionen von:

📍 Google Maps

Die Porta Nigra in Trier stammt aus der römischen Zeit und wurde im zweiten Jahrhundert nach Christus als Stadttor der damaligen Stadt Augusta Treverorum errichtet. Sie gilt als das am besten erhaltene römische Stadttor nördlich der Alpen. Der Bau besteht aus großen Sandsteinquadern, die ohne Mörtel gesetzt wurden und bis heute einen geschlossenen, massiven Eindruck vermitteln.

Der Name Porta Nigra, das schwarze Tor, entstand erst im Mittelalter und bezieht sich auf die im Laufe der Zeit nachgedunkelte Oberfläche des Steins. Im elften Jahrhundert wurde das Bauwerk zu einer Kirche umgebaut, was maßgeblich zu seinem Erhalt beigetragen hat. Erst im neunzehnten Jahrhundert ließ Napoleon die späteren Anbauten wieder entfernen und den römischen Zustand weitgehend herstellen.

Das Panorama zeigt die Porta Nigra im Zusammenhang mit der heutigen Stadt Trier, während die beiden Einzelaufnahmen den Blick auf Struktur, Proportionen und Details des Bauwerks lenken. So wird sichtbar, wie selbstverständlich dieses römische Bauwerk noch immer Teil des Stadtbildes ist.

Interactive Panorama Porta Nigra

1/200s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm

Ein Ausschnitt aus dem heutigen Panorama der Porta Nigra ist mit einer älteren Aufnahme aus dem Familienalbum kombiniert. Der Blick von früher liegt im aktuellen Bild und markiert dieselbe Stelle zu einer anderen Zeit.

Die Feldseite der Porta Nigra ist hier als Breitbild zu sehen. Geplant war ein vollständiges 360×180-Panorama, geblieben ist dieser Blick auf die Rückseite. Nicht jedes Panorama wird eines, der Ort bleibt aber derselbe.

Außerdem war das Wetter nicht ideal. Die Belichtung lässt sich ändern, das Wetter nicht.

1/160s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm

Und direkt in Fußnähe steht der Petrusbrunnen auf dem Hauptmarkt. Er wurde 1595 vom Bildhauer Hans Ruprecht Hoffmann errichtet und zählt zu den bedeutenden Renaissancebrunnen der Stadt. Bekrönt wird er von der Figur des heiligen Petrus, dem Schutzpatron Triers, ergänzt durch Darstellungen der vier Kardinaltugenden.

Interactive Panorama Petrusbrunnen 360x180

1/250s f/5,6 ISO 100/21° f=7,5mm